Weighted branching formulas for the hook lengths

The famous hook-length formula is a simple consequence of the branching rule for the hook lengths. While the Greene-Nijenhuis-Wilf probabilistic proof is the most famous proof of the rule, it is not completely combinatorial, and a simple bijection was an open problem for a long time. In this extended abstract, we show an elegant bijective argument that proves a stronger, weighted analogue of the branching rule. Variants of the bijection prove seven other interesting formulas. Another important approach to the formulas is via weighted hook walks; we discuss some results in this area. We present another motivation for our work: J-functions of the Hilbert scheme of points. Résumé. La formule bien connue de la longueur des crochets est une conséquence simple de la règle de branchement des longueurs des crochets. La preuve la plus répandue de cette règle est de nature probabiliste et est due à GreeneNjenhuis-Wilf. Elle n’est toutefois pas complètement combinatoire et une simple bijection a été pendant longtemps un problème ouvert. Dans ce résumé étendu, nous proposons un argument bijectif élégant qui démontre une version à poids plus forte de cette règle. Des variantes de cette bijection permettent d’obtenir sept autres formules intéressantes. Une autre approche importante de ces formules est via les marches des crochets à poids. Nous discutons certains résultats dans cette direction. Enfin, nous présentons aussi une autre motivation à l’origine de ce travail: les Jfonctions du schéma d’Hilbert des points. Resumen. La famosa fórmula de la longitud de codos es una consecuencia simple de la ley de ramificación de las longitudes de los codos. Mientras que la prueba probabilı́stica de la fórmula de Greene-Nijenhuis-Wilf es la más famosa, ésta no es del todo combinatoria. Por mucho tiempo el problema de encontrar una prueba biyectiva de la formula estuvo abierto. En este resumen extendido, mostramos un argumento biyectivo elegante que prueba una variante ponderada más robusta de la ley de ramificación. Variantes de la biyección prueban otras siete fórmulas interesantes. Otro enfoque importante a las fórmulas es a traves de caminos ponderados de codos: discutimos unos resultados en esta área. Presentamos otra motivación: las J-funciones del esquema de Hilbert de puntos.